Андрей Киселёв родился 16 ноября 1962 года в городе Красноуральске Свердловской области. В 1980 году после окончания средней школы три месяца проучился в Казанском авиационном институте, после чего ушёл служить в армию – в воздушно-десантные войска.
После демобилизации, в 1982 году, поступил в Рязанское Высшее воздушно-десантное командное училище, которое окончил в 1986 году. Фрунзенский стипендиат. Мастер спорта по офицерскому многоборью. С удовольствием изучал фарси.
На службу в ФСК Андрей Викторович был рекомендован командованием Отдельной бригады спецназа, дислоцированной в Московской области.
В Группу «А» Главного управления охраны (ГУО) Андрей Киселёв был зачислен в июне 1993 года.
За время службы в спецподразделении он зарекомендовал себя дисциплинированным, инициативным, исполнительным офицером. К выполнению своих служебных обязанностей относился ответственно. Имел высокую профессиональную подготовку, необходимую для успешного руководства подчинёнными в боевых операциях, постоянно стремился к её совершенствованию.
Неоднократно принимал участие в сложных оперативных мероприятиях и боевых операциях, проявляя при этом выдержку, самоотверженность и решительность.
Учился на четвертом курсе Заочного юридического института.
Во время освобождения заложников, удерживаемых в селе Первомайское бандой Салмана Радуева, майор Киселёв руководил одной из групп огневого прикрытия. В ходе боевой операции по уничтожению террористов группа Киселёва обеспечила подавление огневых точек противника, чем помогла выходу сотрудников спецназа МВД из-под обстрела террористов и переносу раненых в безопасное место.
Погиб Андрей Викторович 18 января 1996 года в ходе освобождения от боевиков села Первомайское.
Похоронен на Митинском кладбище города Москвы.
За мужество и отвагу, проявленные при спасении заложников, а также смелые и решительные действия, совершённые при исполнении воинского долга в условиях, сопряжённых с риском для жизни, майор Киселëв посмертно награждён орденом Мужества.
Среди его наград орден «За службу Родине в Вооружённых Силах» III степени, медали, именные часы от министра обороны СССР.
В 2018 году школе № 6 города Красноуральска Свердловской области присвоено имя сотрудника Управления «А» ЦСН ФСБ майора Андрея Киселёва.