Анатолий Савельев родился 25 апреля 1946 года в городе Москве. В 1965 году окончил Московский авиационный техникум имени Н. Н. Годовикова. После срочной службы в армии работал в НИИ электронно-вычислительной техники.
В 1971 году решением Тимирязевского райкома ВЛКСМ города Москвы Анатолий Николаевич был направлен в органы государственной безопасности. В 1972 году окончил 401 спецшколу КГБ и начал свой профессиональный путь в должности младшего разведчика Седьмого Управления КГБ СССР.
Осенью 1974 года он был зачислен в первый состав Группы «А», в котором за двадцать три года прошёл путь от разведчика до заместителя начальника Управления «А» Департамента по борьбе с терроризмом ФСБ России. Параллельно со службой в спецподразделении окончил в 1976 году Московский государственный педагогический институт (физико-математический факультет), а в 1983 году Высшую школу КГБ СССР имени Ф. Э. Дзержинского.
Анатолий Савельев принимал активное участие во многих сложных операциях. Боевое крещение получил 27 декабря 1979 года в городе Кабуле, где в составе группы «Гром» участвовал в захвате штаба афганских ВВС.
Весной 1984 года и осенью 1985 в качестве руководителя нештатной боевой группы выполнял специальные задания на территории ДРА в составе десантно-штурмовых и мотоманёвренных групп 47-го погранотряда Краснознаменного Среднеазиатского пограничного округа. За мужество и героизм награждён двумя орденами Красной Звезды (1980, 1986 гг.).
За его плечами практически все горячие точки на территории бывшего Советского Союза. По плану одной из операций он был внедрён в преступную группу, занимавшуюся торговлей оружием. Активно участвовал в разрешении острейшего политического кризиса в Москве 4 октября 1993 года.
Полковник Савельев принимал непосредственное участие в организации и проведении боевых операций по освобождению заложников в городе Будённовске и селе Первомайское, за что в 1996 году был награждён орденом «За военные заслуги». Анатолий Николаевич – Почётный сотрудник госбезопасности.
Все эти годы вместе с ним по жизни шла его супруга – Наталья Михайловна Савельева…
10 декабря 1997 года полковник Савельев лично обезвредил террориста Г. Тодикова, угрожавшего взрывом пассажирского самолёта в аэропорту «Шереметьево-1».
Погиб в ночь с 19 на 20 декабря 1997 года во время специальной операции в Москве, обменяв себя на торгового советника посольства Швеции Яна Улофа-Нюстрема, захваченного террористом С. Кобяковым.
Указом Президента Российской Федерации от 22 декабря 1997 года полковнику Савельеву Анатолию Николаевичу посмертно присвоено звание Героя Российской Федерации.
Похоронен в Москве на Николо-Архангельском кладбище.
В 2009 году его именем названа средняя школа № 2093 на востоке города Москвы.